SECTION 1: LES INTERETS. A/ LA VALEUR DU TEMPS: qd 1 pers (le prêteur) prête un capital à une autre personne (emprunteur),il est habituellement convenu que l'emprunteur rembourse à l'échéance,non seulement le montant du prêt,mais un supplément: l'intérêt du prêt.
l'intérêt est le dédommagement versé au prêteur qui renonce à la satisfaction qu'il obtiendrait en dépensant immédiatement son argent.
B/ taux d'intérêt c'est le rapport entre l'intérêt obtenu pendant une unité de temps et le capital prêté. il existe 2 modalités de calcul des intérêts:
*les intérêts simples: ppalement utilisé pour les crédits de trésorerie à court terme.
*les intérêts composés: utilisés pour les prêts à plus d'un an.
SECTION 2:SYSTEME DES INTERETS SIMPLES: =sont payé en fin de période.il ne s'ajoute pas au capital prété pour produire eux même des intérêts. A) Calcul des intérêts simples: Intérêt= Capital prêté X taux X durée prêt le total du capital placé et des intérêts est appelé VALEUR ACQUISE.
ex: on place 1500€ x 3,75% pendant 9 mois =l'intérêt perçu à la fin des 9 mois est 1500 x 0,0375x270/360 = 42,19€
la valeur acquise à la fin du prêt: 1500 + 42,19=1542,19€
B)ESCOMPTE: 1)définition: =l'escpte est une forme particulière de prêt pratiqué par les Bq. la bq achète a un bénéficiaire un effet (lettre de change ou billet à ordre) payable à terme et règle cet achat au comptant.
tout se passe comme si la bq prêtait au bénéficiare le montant de l'effet entre le jour de la négociation et l'échéance.
Cependant,la bq paie pour l'effet escompté,un prix légèrement inférieur à la valeur nominale. =elle retient un intérêt que l'on appelle l'escompte.
2)ESCOMPTE Commercial: a)principe: =c'est celui utilisé par les bq c'est un intérêt simple qui est proportionnel à la valeur nominale de l'effet.
Escompte (VN= val. nominale;valeur inscrite sur l'effet) >>VN x taux x n (n=délai en jour de négociation et échéance mesuré avec la même unité de temps)
VALEUR ACTUELLE: valeur nominale - escompte
ex: on escpte un effet de 3250 échéant dans 60 jours au taux annuel de 5,75% Escompte= 3250 x 0,0575x 60/360 = 31,15€ >>>VALEUR ACTUELLE de l'effet= 3250 - 31,15= 3218,85€
ex 2: on escompte le 23 sept au tx annuel de 12% un effet de 3500 € échéance fin décembre.
la bq rajoute 1 jour d'escompte (dénomé jour de bq) -nbre de jour à prendre en compte: 23 sept exclu au 31 décembre + 1 jour banque = 100 jours
l'escompte= 3500x0,12x100/360= 116,67€
VALEUR ACTUELLE: le 23 septembre 3500 - 116,67= 3383,33€
SECTION 3:SYSTEME DES INTERETS COMPOSES: les intérêts composés sont capitalisés périodiquement,c'est à dire qu'il s'ajoute au capital pour produire eux même des intérêts. Ce système est utilisé pour les prêts à long terme. (plsrs années) A-VALEUR ACQUISE D'UN CAPITAL A intérêt COMPOSES (capitalisation) 1) valeur acquise à fin de période. a) Principe: Cn=Valeur acquise à la période N Co=capital déposé à l'époque 0 (début de la période 1) i= tx i pour 1 euro,relatif à une période de capitalisation. Cn=Co x (1+i)n >>une somme versé en 0 (Co) à un taux i pendant 4 ans donnera la valeur acquise (Cn)
les intérêts s'obtiennent par la différence entre acquise et la valeur actuelle Intérêts= Cn - Co
b)Exemple: on dépose 1000€ sur un cpte renuméré le 31/12/N. les i calculés au tx de 2,25% l'an sont capitalisés annuellement. De quelle somme disposera t on le 31/12/N=1;31/12/N+2..
2) VALEUR ACQUISE EN COURS DE PERIODE AVEC INTERET COMPOSES: ex: on place 1000 € à 8% l'an à i composé pendant 3 ans et 9 mois *Premiere solution (dite rationnelle): =on considère que la valeur acquise au bout de 3 ans,reste placée à intérêt simple pendant 9 mois
VALEUR AQUISE après 3 ans: 1000 x (1,08)3=1259,71€
*les intérêts simples des 9 mois: 1259,71€ x 0,08 x 9/12 =75,68€
VALEUR ACQUISE APRES 3 ANS ET 9 MOIS: 1259,71 +75,68= 1335,29€
*deuxième solution (dite commerciale): =dans la pratique, la solution rationnelle est peu employé on préfère ceci: >>Cn=Co x (1+N)n (n devient un nbre fractionnaire)
C3 + 9/12=1000 x (1,08)¨3+9/12 Valeur Acquise= 1000 x 1,O8^3,75=1334,56€
B-VALEUR ACTUELLE D UN KAL A INTERET COMPOSES: (actualisation) 1)définition quel somme il faut plaçer à i composés pour obtenir,après un certain temps de placement,un capital déterminé.
Qd on calcule la valeur actuelle d' 1 Kal en tenant cpte des i composés,on dit qu'on actualise ce capital le taux d'i composé prend le nom de taux d'actualisation
2) Calcul de la VALEUR ACTUELLE: ex: supposons qu'une E prévoie qu'elle aura besoin dans 4 ans d'un capital de 150000€ pour finançer par ex un investissement. Combien lui faudrait il plaçer dès aujourd'hui au taux annuel composé de 5% afin d'obtenir cette somme dans 4 ans.
Cn=150000 et nous voulons calculer Co.
la relation Cn=Co(1+i)n nous permet d'ecrire : 150 000= Co x (1,05)4 d'où Co=150000/(1,05)4
ou encore en employant la notation avec des exposants négatif Co=150000x1,05)-4= 123 405,37€
Co=Cn(1+i)-n Co=valeur actuelle (ou valeur actualisée) Cn=capital échéant à l'époque n n=durée
LES ANNUITES: =une suite d'annuités est une suite de paiement périodique: Ces paiements peuvent être destinés:
*soit à constituer un capital (annuité de placement)
*soit à rembourser un emprunt (annuité de remboursement)
>>>les opérations les concernants sont donc effectuées avec les intérêts composés
B-VALEUR ACQUISE PAR UNE SUITE D ANNUITES CONSTANTES (LORS DU PAIEMENT DE LA DERNIERE DE CES ANNUITES) 1)Principe: VALEUR ACQUISE par une suite d'annuité constantes: Vn= a x (1+i)n-1/i n=nbre de versement constant a=annuité constante
donc Annuité constante: a= Vn x i/(1+i)n-1
2) Exemple: on place 5000 € par an, du 1er janvier N au 1 janvier N+7 inclus au taux de 6% l'an Qu'elle somme obtiendra t on le 1 janvier N+7 >>Vn=a x (1+i)n-1/i >> 5000 x (1,06)8-1/0,06=49 487. Exemple: quelle somme faut il plaçer annuellement pendant 6 ans pour obtenir 800000€ à la date du 6ème versement ? le taux d'i annuel est de 4%
a=Vn x i/(1+i)n-1
800000x 0,04/(1,04)6 - 1 = 120 610€
C-VALEUR ACTUELLE D UNE SERIE ANNUITE CONSTANTES (UNE PERIODE AVANT LE PAIEMENT DE LA 1ERE DE CES ANNUITES) 1) Principe: Valeur actuelle d'une serie d'annuités constantes: Vo= a x 1-(1+i)-n/i
A partir de cette formule,on peut exprimer a en fonction de Vo
annuité constante= Vo x i/1-(1+i)-n
exemple: plutôt que de verser 8 annuités de 5000€ du 1er janvier N au 1 janvier N+7 on préfère verser une somme unique le 1er janvier N-1
*1er solution: la valeur acquise V8 est égale à 49 487€ la valeur de ce capital,8 ans avant le 1/1/N+7 est égale Vo = Vn(1+i)-n = 49 487 x 1,06^-8 =31 049 €
*2eme solution: Vo= a x i/1-(1+i)-n
5000x 1-(1,06)-8/O,O6 =31 049 €
D-ANNUITES DE REMBOURSEMENT D UN EMPRUNT: il existe 2 grandes catégories d'emprunts:
LES EMPRUNTS INDIVIS: remboursable à une personne (physiq ou morale) qui est le plus souvent un établissement finançier.
*LES EMPRUNTS OBLIGATAIRES: remboursable à plusieurs personnes (des milliers souvent) Ces personnes (les obligataires) pouvant ê des personnes physiques morale.
On peut rembourser un emprunt indivis de 3 façons: *en un seul fois à l'échéance (remboursement in fine) *remboursement par amortissement constant **par annuités constantes *
Csq: si l'amort du capital est constant,l'annuité ne l'est pas
si l'annuité est constante ,l'amort du capital ne l'est pas.
Remboursement indivis in fine: le 1/1/N ,une E emprunte 1 000 000 sur 5 ans. remboursement in fine sur 5 ans taux annuel 10% REPONSE: intérêt: 1 000 000 x 10%= 100 000 de 31/12/N au 31/12/N+4
Amort: O € pour les échéances du 31/12/N au 31/12/N+3 et 1 000 000€ pour échéance du 31/12/N+4 a l'échéance des 4 1er annuités l'E ne paiera que les intérêts et à l'échéance de la 5ème annuité,elle paiera les intérêts de cette année + la taotalité du montant emprunté.
SECTION 7: EMPRUNTS OBLIGATAIRES: 1) défintion d'un obligation: il s'agit d'un titre négociable donnant les même droits de créance pour une même valeur nominale.
l'obligation rapporte au souscripteur (celui qui achète l'obligation >>obligataire) des intérêts fixes le plus souvent
il existe des obligations à taux variable voir des obligations ne rapportant pas d'intérêt >> obligation à coupon zero.
2) Qui peut emettre un emprunt obligataire: -un état dans sa propre devise= on parle alors d'emprunt d'état -un état dans une autre devise que la sienne>>on parle obligation souveraines.
-une E du secteur public,un organisme public,une collectivité locale>> on parle obligation du secteur public
-une E privée,une association ou tout autre personne morale,dont les fonds communs de créances>>on parle d'obligation "corporate"
4- VALEUR NOMINALE (VN): =également appelé "pair" c'est la valeur sur laquelle doit être appliqué le taux d'intérêt facial (ou nominal).
5-PRIX EMISSION (PE°): prix payé par le souscripteur de l'emprunt obligataire (les obligataires) à l'émetteur de l'emprunt obligataire
6-PRIX DE REMBOURSEMENT: prix remboursé au souscripteur (l'obligataire) par l'emetteur
7-PRIME DE REMBOURSEMENT: =PR(prix remboursement)-PE( prix emission)
B-DIFFERENTS MODES DE REMBOURSEMENT DES EMPRUNTS OBLIGATAIRES: 1) Par annuités constantes: a chaque échéance,l'emetteur verse la même annuité (qui comporte intérêt et capital) le montant des intérêts,incus dans l'annuité,diminue à chq échéance alors que le montant du remboursement du capital emprunté augmente à échéance.
2) Par amortissement Constants: =avec cette methodes les annuités ne sont pas égales entre elles. en feet,le nombre d'obligation amortie étant le même à chaque échéance, le montant des i diminue
3) In fine relatif: lors que chq échéance (sf a dernière) l'émetteur ne verse que les i a la dernière échéance,l'emetteur remboursera toutes les obligations au prix de remboursement + les intérêts de la dernière annuité.
4-IN FINE ABSOLU: l'emetteur ne verse rien pendant la durée de l'emprunt (ni intérêts,ni capital) lors de la dernière échéance,il rembourse toutes les obligations au prix de remboursement ainsi que les i composé
5-OBLIGATION A COUPON "ZERO": -l'emetteur ne verse aucun intérêt durant la durée de l'emprunt (même pas à l'échéance) >> En fait l'absence de rénumération (pas intérêt) est compensé largement par l'importance de la prime de remboursement.
Formule annuité constante (emprunt obligataire): Vn= valeur nominale d'une obligation N= nbre total obligation émises n=durée de l'emprunt (année) i= tx intérêt nominal (ou facial ) annuel
Annuité constante: (NxVn)(i/1-(1+i)-n
TAUX D INTERET NOMINAL OU FACIAL: c'est le taux d'i théorique fixé au moment de l'emission de l'emprunt
il eput être fixe c'est à dire reste inchangé pendant tte la durée de vie de l'obligation
il peut être variable,en fonction d'un indice de référence pris sur le marché monétaire ou financier
le taux varie aussi parfois en focntion du bénéfice ou du CA
TAUX DE RENDEMENT ACTUARIEL (TRA): ou rendement à échéance d'une obligation zero coupon le TRA est le taux qui permet d'égaliser la valeur actuelle de l'obligation avec la somme des flux futurs perçus. c'est à dire coupons et le prix de remboursement à l'échéance du titre.
autrement dit,il est équivalent du taux d'i que percevrait un investisseur qui détiendra l'obligation jusqu'à son terme
dans le langage courant,il correspond au rendement de l'obligation