\documentclass[10pt,a4paper]{article}
%%% taille 10 points et format de papier A4
%%% classe article

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\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 

\usepackage{multicol}%%%         écriture en multicolonnes
\usepackage[normalem]{ulem}%%%   pour texte barré \sout{}
\usepackage[french]{babel}%%%    écriture en français
\DecimalMathComma%%%             évite l'espace après la virgule en mode math
\usepackage{multido}%%%          pour faire des boucles
\usepackage{pst-all,pst-eucl}%%% PsTricks et Euclide
\usepackage{graphicx}%%%         pour graphiques et couleurs	
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}%%% outils AMS
\usepackage{mathrsfs}%%%         police script \mathscr{}
\usepackage{tabularx}%%%         tableaux
\usepackage{fancybox}%%%         divers boîtes
\usepackage{lscape}%%%           mode paysage
\usepackage[np]{numprint}%%%     pour formater les nombres de plus de 3 chiffres
\usepackage{colortbl}%%%         pour griser des cases dans un tableau
\usepackage{makeidx}%%%          pour créer un index
\makeindex%%%                    indispensable après l'appel du package makeidx
\usepackage{lettrine}%%%         pour créer des lettrines
\usepackage{eurosym}%%%          sigle euro

\usepackage{vmargin}%%%          réglage des marges
\setmarginsrb{3cm}{2cm}{3cm}{2cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

\setlength{\parindent}{0pt}%%% règle l'indentation en début de paragraphe 

%%%  Commandes perso FH

%%% Pour intégrale, somme et produit, etc.
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%%% raccourci pour \displaystyle

%%% ensembles de nombres
%%% On réservera le style "double barre" à l'écriture au tableau
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
\newcommand{\N}{\textbf{N}}
\newcommand{\Z}{\textbf{Z}}
\newcommand{\C}{\textbf{C}}
\newcommand{\Q}{\textbf{Q}}
\newcommand{\K}{\textbf{K}}

%%% différents repères
\newcommand{\Oij}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath})}
\newcommand{\rep}{(O,I,J)}
\newcommand{\Ouv}{(O\,;\,\vec{u}\,,\,\vec{v})}
\newcommand{\Oijk}{(O\,;\,\vec{\imath}\,,\,\vec{\jmath}\,,\,\vec{k})}

%%%  Courbe représentative
\newcommand{\Cr}[1]{\mathscr{C}_{#1}}

%%% crochets gauche et droit
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}

%%% crochet d'entiers
\newcommand{\cde}{\texttt{[}\!\!\texttt{[}}
\newcommand{\cge}{\texttt{]}\!\!\texttt{]}}

%%% inférieur ou égal, supérieur ou égal
\newcommand{\pg}{\geqslant}
\newcommand{\pp}{\leqslant}

\usepackage{fancyhdr}%%%       En-têtes et pieds de pages
\pagestyle{fancy}
\renewcommand\headrulewidth{1pt}%%% filet haut de page
\renewcommand\footrulewidth{0pt}%%% filet bas de page
\renewcommand{\headwidth}{\textwidth}
%%% head pour haut de page
%%% L C et R pour Left Center et Right
\fancyhead[L]{\url{http://latexetmath.canalblog.com}}
\fancyhead[R]{\today} %%% \today = date du jour
\fancyhead[C]{}
%%% foot pour pied de page
\fancyfoot[C]{\begin{small}-- \thepage\  --\end{small}}  
\fancyfoot[R]{}%%%     {\jobname}%%% nom du fichier tex
\fancyfoot[L]{\href{mailto:francois.hache@free.fr}{FH}}

%%% Pour les énumérations
%%% premier niveau 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
%%% deuxième niveau
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%%% troisième niveau
\renewcommand{\theenumiii}{\textbf{\arabic{enumiii}}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii)}}
%%% permet d'avoir a. au lieu de (a) dans une énumération de niveau 2
%%% voir : http://cahiers.gutenberg.eu.org/cg-bin/article/CG_1994___17_32_0.pdf

\newenvironment{changemargin}[2]
{\begin{list}{}{%
\setlength{\topsep}{0pt}%
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\setlength{\parsep}{0pt plus 1pt}%
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\addtolength{\rightmargin}{#2}%
}\item }{\end{list}}
%%%% pour changer les marges gauche et droite sur un paragraphe
%%%% \begin{changemargin}{marge gauche}{marge droite}
%%%% ...
%%%% \end{changemargin}

\usepackage[ps2pdf]{hyperref}%%% pour les références

%%% paramètres des pdf
\hypersetup{
pdfauthor = {F. Hache},
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pdfcreator = {LaTeX vers PDF}
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%%% Autres commandes qui doivent être définies après hyperref
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\renewcommand{\v}[1]{\overrightarrow{#1}}%%% vecteur

%%% définitions de nouvelles couleurs
\newrgbcolor{rb}{0.804 0 0}
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\begin{document}

\part*{\centering Droite des milieux dans un triangle}

\vfill

Voici un théorème connu sous le nom de \og théorème des milieux dans un triangle\fg.

\section{Théorème}

La droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté, et la distance entre les deux milieux est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.


\section{Démonstration}

Soit ABC un triangle quelconque.

On appelle B' le milieu du côté \cd AC\cg{} et C' le milieu du côté \cd AB\cg.

On appelle D le symétrique du point C' par rapport au point B'.


\begin{enumerate}
\item Placer les points B', C' et D sur la figure jointe.

Compléter cette figure au fil des questions.

\item Démontrer que le quadrilatère AC'CD est un parallélogramme.

\item En déduire que le quadrilatère BCDC' est un parallélogramme puis que les droites (B'C') et (BC) sont parallèles.

\item Justifier que $\text{C'B'} = \dfrac{1}{2}\,\text{C'D}$ et en déduire que  $\text{C'B'} = \dfrac{1}{2}\,\text{BC}$.

 
\end{enumerate}

\vfill


\begin{center}
\psset{unit=1cm,PtNameMath=false,PointSymbol=none}
\def\xmin{-1}   \def\xmax{7}
\def\ymin{-1}   \def\ymax{5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pstTriangle(0,0){B}(6,0){C}(4,4){A}
\end{pspicture}
\end{center}

\vfill{}

\vfill{}

\newpage

\section{Corrigé}

\begin{enumerate}
\item On complète la figure:

\begin{center}
\psset{unit=1cm,PtNameMath=false,PointSymbol=none}
\def\xmin{-1}   \def\xmax{7}
\def\ymin{-0.5}   \def\ymax{4.55}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\pstTriangle(0,0){B}(6,0){C}(4,4){A}
{\red
\psset{linecolor=red}
\pstMiddleAB[PosAngle=130]{A}{B}{C'}
\pstMiddleAB[PosAngle=60]{A}{C}{B'}
\pstSymO{B'}{C'}[D]
\psline(C)(C')
\psline(A)(D)
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHashh]{A}{C'}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHashh]{C'}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkCros]{A}{B'}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkCros]{B'}{C}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHashhh]{C'}{B'}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHashhh]{B'}{D}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=MarkHashh]{C}{D}
}
\psline(A)(B)(C)(A)
\end{pspicture}
\end{center}

\item 

\begin{list}{\textbullet}{}

\item Le point D est le symétrique du point C' par rapport au point B' donc B' est le milieu de \cd C'D\cg. 
\textbf{\red{}(6)}

\item D'après le texte, le point B' est le milieu de \cd AC\cg.

\end{list}

Le quadrilatère AC'CD a ses diagonales \cd AC\cg{} et \cd C'D\cg{} qui ont le même milieu B', donc le quadrilatère AC'CD est un parallélogramme.
\textbf{\red{}(4)}

\item
Comme AC'CD est un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles et égaux donc (AC') et (DC) sont parallèles et $\text{AC'} = \text{DC}$. 
\textbf{\red{}(2) (3)}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Les droites (AC') et (CD) sont parallèles et les trois points A, C' et B sont alignés donc on peut dire que les droites (C'B) et (DC) sont parallèles.

\item D'après le texte, le point C' est le milieu du segment \cd AB\cg{} donc $\text{AC'} = \text{C'B}$. On vient de voir que $\text{AC'} = \text{DC}$. On peut donc en déduire que $\text{C'B} = \text{DC}$.
\textbf{\red{}(1)}

\end{list}

Le quadrilatère BCDC' a deux côtés \cd C'B\cg{} et \cd DC\cg{} qui sont parallèles et égaux. Ce quadrilatère BCDC' n'est pas croisé donc BCDC' est un parallélogramme.
\textbf{\red{}(5)}

On en déduit que les droites (BC) et (DC') sont parallèles, donc que les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.
\textbf{\red{}(2)}

\item 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On a vu que B' était le milieu de \cd C'D\cg{} donc $\text{C'B'} = \dfrac{1}{2}\,\text{C'D}$.

\item On a démontré que BCDC' était un parallélogramme, donc $\text{BC} = \text{C'D}$.
\textbf{\red{}(3)}
\end{list}

\medskip

$\left. 
\begin{array}{l}
\text{C'B'} = \dfrac{1}{2}\,\text{C'D}\\[10pt]
\text{BC} = \text{C'D}
\end{array}
\right\rbrace$ 
donc
$\text{C'B'} = \dfrac{1}{2}\,\text{BC}$
\textbf{\red{}(1)}

\end{enumerate}


\section{\red Propriétés utilisées}

\begin{enumerate}

\item Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles.

\item Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles (par définition).

\item Un parallélogramme a ses côtés opposés égaux deux à deux.

\item Un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme.

\item Un quadrilatère non croisé qui a deux côtés parallèles et égaux est un parallélogramme.

\item Le point M est le symétrique du point N par rapport au point O signifie que O est le milieu du segment \cd MN\cg.

\end{enumerate}

\end{document}